7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ Lớp 8: Bí Quyết Nắm Vững Công Thức Toán Học

Dưới đây là các hằng đẳng thức quan trọng mà học sinh lớp 8 cần nhớ. Những hằng đẳng thức này thường được sử dụng trong các bài toán biến đổi đại số.

1. Bình phương của một tổng

Hằng đẳng thức này thể hiện bình phương của tổng hai số.

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

2. Bình phương của một hiệu

Hằng đẳng thức này thể hiện bình phương của hiệu hai số.

$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

3. Hiệu hai bình phương

Hằng đẳng thức này thể hiện hiệu của bình phương hai số.

$$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$

4. Lập phương của một tổng

Hằng đẳng thức này thể hiện lập phương của tổng hai số.

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

5. Lập phương của một hiệu

Hằng đẳng thức này thể hiện lập phương của hiệu hai số.

$$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

6. Tổng hai lập phương

Hằng đẳng thức này thể hiện tổng của lập phương hai số.

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$

7. Hiệu hai lập phương

Hằng đẳng thức này thể hiện hiệu của lập phương hai số.

$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$

Ứng dụng của các hằng đẳng thức

Các hằng đẳng thức này thường được sử dụng để giải các bài toán biến đổi biểu thức, chứng minh đẳng thức và phân tích đa thức thành nhân tử. Dưới đây là một số ví dụ:

• Tính giá trị của biểu thức: Áp dụng các hằng đẳng thức để tính giá trị biểu thức tại một giá trị cụ thể.
• Chứng minh đẳng thức: Sử dụng các hằng đẳng thức để chứng minh sự bằng nhau của hai biểu thức.
• Phân tích đa thức thành nhân tử: Sử dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành các nhân tử đơn giản hơn.

Ví dụ về bài tập

Dưới đây là một số bài tập áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ:

1. Tính giá trị của biểu thức: Tính giá trị của biểu thức \(A = x^2 - 4x + 4\) tại \(x = -1\)
2. Chứng minh đẳng thức: Chứng minh rằng \((a + b)^3 - (a - b)^3 = 2b(3a^2 + b^2)\)
3. Phân tích đa thức thành nhân tử: Phân tích đa thức \(F = x^2 - 4x + 4 - y^2\) thành nhân tử

Hằng đẳng thức bình phương của một tổng là một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, được áp dụng rộng rãi trong các bài toán đại số. Công thức của hằng đẳng thức này như sau:

\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]

Để hiểu rõ hơn, chúng ta hãy xem một ví dụ cụ thể:

• Ví dụ 1: Tính \((3 + 4)^2\)

Áp dụng hằng đẳng thức, ta có:

\[(3 + 4)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 4^2\]

Tính các giá trị:

\[3^2 = 9\]

\[2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\]

\[4^2 = 16\]

Vậy:

\[(3 + 4)^2 = 9 + 24 + 16 = 49\]

Hãy cùng xem thêm một ví dụ khác để làm rõ hơn:

• Ví dụ 2: Tính \((x + y)^2\)

Áp dụng hằng đẳng thức, ta có:

\[(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\]

Với các biến khác nhau, công thức vẫn được giữ nguyên và ta có thể áp dụng tương tự.

Việc nắm vững hằng đẳng thức này giúp chúng ta giải các bài toán phức tạp hơn một cách nhanh chóng và chính xác.

Hằng đẳng thức thứ hai trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là "Bình Phương của Một Hiệu". Công thức này thể hiện bình phương của hiệu giữa hai biểu thức và được viết như sau:

\[(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2\]

Chúng ta sẽ cùng phân tích và chứng minh công thức này qua các bước dưới đây:

• Đầu tiên, ta khai triển bình phương của hiệu (A - B) bằng cách nhân (A - B) với chính nó:

\[(A - B) \cdot (A - B)\]

• Tiếp theo, ta áp dụng quy tắc phân phối để nhân từng hạng tử trong dấu ngoặc:

\[A \cdot A - A \cdot B - B \cdot A + B \cdot B\]

• Sau đó, ta nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau:

\[A^2 - AB - AB + B^2\]

• Cuối cùng, ta cộng các hạng tử giống nhau để nhận được kết quả cuối cùng:

\[A^2 - 2AB + B^2\]

Ví dụ minh họa:

• Ví dụ 1: Khai triển biểu thức \((3x - 2y)^2\)

\[(3x - 2y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2\]

• Ví dụ 2: Khai triển biểu thức \((x - 5)^2\)

\[(x - 5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25\]

• Ví dụ 3: Khai triển biểu thức \((a - b)^2 + (c - d)^2\)

\[(a - b)^2 + (c - d)^2 = a^2 - 2ab + b^2 + c^2 - 2cd + d^2\]

Những ví dụ trên giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cách áp dụng hằng đẳng thức "Bình Phương của Một Hiệu" trong các bài toán cụ thể. Đây là công cụ quan trọng giúp giải quyết nhiều bài toán phức tạp trong chương trình toán lớp 8.

Hiệu hai bình phương là một trong những hằng đẳng thức đáng nhớ quan trọng trong toán học lớp 8. Đây là công thức giúp đơn giản hóa các biểu thức phức tạp, tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải các bài toán. Công thức này được biểu diễn như sau:

\[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\]

Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu và áp dụng công thức này qua các ví dụ cụ thể dưới đây:

• Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức \(x^2 - 4\).

  
  Áp dụng hằng đẳng thức, ta có:
  \[x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\]

• Ví dụ 2: Giải phương trình \(x^2 - 9 = 0\).

  
  Sử dụng hằng đẳng thức, ta viết lại phương trình:
  \[x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) = 0\]
  
  
  Phương trình này có hai nghiệm là:
  \[x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\]
  \[x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\]

Các ví dụ trên cho thấy việc sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương giúp ta giải quyết bài toán một cách nhanh chóng và hiệu quả.

Hằng đẳng thức "Lập phương của một tổng" được sử dụng để khai triển biểu thức dạng \( (a + b)^3 \). Công thức này rất hữu ích trong việc giải toán lớp 8 và được biểu diễn như sau:

• Công thức tổng quát: \( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)

Để hiểu rõ hơn, chúng ta sẽ đi qua từng bước khai triển công thức này:

1. Đầu tiên, khai triển lập phương của từng số hạng:
   • \(a^3\)
   • \(b^3\)
2. Tiếp theo, cộng các hệ số của từng tích:
   • Ba lần tích của \(a\) bình phương và \(b\): \(3a^2b\)
   • Ba lần tích của \(a\) và \(b\) bình phương: \(3ab^2\)

Do đó, khi cộng các kết quả này lại, chúng ta có công thức đầy đủ:

\[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]

Ví dụ minh họa: Khai triển \( (2x + 3y)^3 \)

• Áp dụng công thức, ta có: \[ (2x + 3y)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(3y) + 3(2x)(3y)^2 + (3y)^3 \]
• Khai triển chi tiết: \[ = 8x^3 + 36x^2y + 54xy^2 + 27y^3 \]

Hằng đẳng thức về lập phương của một hiệu là một trong những hằng đẳng thức đáng nhớ trong toán học lớp 8. Công thức này giúp chúng ta tính nhanh và chính xác giá trị của biểu thức khi gặp dạng lập phương của hiệu của hai số.

Công thức lập phương của một hiệu được biểu diễn như sau:

\[
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
\]

Để hiểu rõ hơn về công thức này, chúng ta sẽ phân tích từng bước:

• Bước 1: Tính lập phương của số thứ nhất: \[ a^3 \]
• Bước 2: Tính ba lần tích của bình phương số thứ nhất và số thứ hai: \[ 3a^2b \]
• Bước 3: Tính ba lần tích của số thứ nhất và bình phương của số thứ hai: \[ 3ab^2 \]
• Bước 4: Tính lập phương của số thứ hai: \[ b^3 \]
• Bước 5: Kết hợp các kết quả từ các bước trên theo dấu của từng hạng tử: \[ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \]

Chúng ta cùng xem một ví dụ cụ thể để áp dụng công thức này:

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức \((2 - 1)^3\).

1. Bước 1: Tính \(2^3\): \[ 2^3 = 8 \]
2. Bước 2: Tính \(3 \cdot 2^2 \cdot 1\): \[ 3 \cdot 4 \cdot 1 = 12 \]
3. Bước 3: Tính \(3 \cdot 2 \cdot 1^2\): \[ 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \]
4. Bước 4: Tính \(1^3\): \[ 1^3 = 1 \]
5. Bước 5: Kết hợp các kết quả trên: \[ (2 - 1)^3 = 8 - 12 + 6 - 1 = 1 \]

Như vậy, chúng ta đã sử dụng công thức lập phương của một hiệu để tính giá trị biểu thức một cách chính xác và nhanh chóng.

Định nghĩa

Tổng hai lập phương là một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ trong chương trình Toán lớp 8. Hằng đẳng thức này cho phép chúng ta phân tích biểu thức dạng A³ + B³ thành tích của hai đa thức đơn giản hơn.

Công thức

Công thức của tổng hai lập phương được biểu diễn như sau:

\( A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2) \)

Trong đó, \( A \) và \( B \) là các biểu thức hoặc số tùy ý.

Ví dụ

Ví dụ 1: Viết biểu thức \( x^3 + 8 \) dưới dạng tích.

Lời giải:

Ta có thể viết \( 8 \) dưới dạng \( 2^3 \), do đó:

\( x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) \)

Ví dụ 2: Viết tích \( (x + 1)(x^2 - x + 1) \) dưới dạng tổng của hai lập phương.

Lời giải:

Ta nhận thấy:

\( (x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1 \)

Định nghĩa

Hiệu hai lập phương là một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, thể hiện mối quan hệ giữa hiệu của hai số lập phương và tích của chúng với một đa thức bậc hai.

Công thức

Hiệu của hai lập phương được biểu diễn dưới dạng:

\( A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) \)

Trong đó, \( A \) và \( B \) là các biểu thức hoặc số hạng bất kỳ.

Ví dụ

Hãy cùng xem một số ví dụ cụ thể để hiểu rõ hơn về hằng đẳng thức này:

1. Ví dụ 1:

   Thực hiện phép tính: \( 8^3 - 27 \)

   Giải:

   
   \( 8^3 - 27 = (2^3)^3 - 3^3 = (2^3 - 3)( (2^3)^2 + 2^3 \cdot 3 + 3^2 ) \)

   
   \( = (2 - 3)(2^2 + 2 \cdot 3 + 3^2) \)

   
   \( = (2 - 3)(4 + 6 + 9) \)

   
   \( = (-1)(19) \)

   
   \( = -19 \)

2. Ví dụ 2:

   Thực hiện phép tính: \( x^3 - 64 \)

   Giải:

   
   \( x^3 - 64 = x^3 - 4^3 = (x - 4)(x^2 + 4x + 4^2) \)

   
   \( = (x - 4)(x^2 + 4x + 16) \)

3. Ví dụ 3:

   Thực hiện phép tính: \( (a - b)^3 - c^3 \)

   Giải:

   
   \( (a - b)^3 - c^3 = (a - b - c)( (a - b)^2 + (a - b)c + c^2 ) \)

   
   \( = (a - b - c)(a^2 - 2ab + b^2 + ac - bc + c^2) \)

Dưới đây là các dạng bài tập áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ cùng với phương pháp giải chi tiết để các em có thể nắm vững kiến thức và vận dụng linh hoạt trong các dạng toán.

Dạng 1: Biến đổi biểu thức

Áp dụng các hằng đẳng thức để biến đổi biểu thức phức tạp thành dạng đơn giản hơn.

• Ví dụ: Rút gọn biểu thức \((x+y)^2 + (x-y)^2\)

  Lời giải:

  \((x+y)^2 + (x-y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy + y^2 = 2x^2 + 2y^2\)

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức

Sử dụng hằng đẳng thức để tính giá trị của các biểu thức tại các giá trị cụ thể.

• Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức \(a^3 + b^3\) khi \(a = 2, b = -1\)

  Lời giải:

  a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = (2 - 1)((2)^2 - 2(-1) + (-1)^2) = 1(4 + 2 + 1) = 7

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Sử dụng các hằng đẳng thức và tính chất của chúng để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của các biểu thức.

• Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(x^2 + 4x + 4\)

  Lời giải:

  x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2

  Giá trị nhỏ nhất là 0 khi \(x = -2\)

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức

Sử dụng hằng đẳng thức để chứng minh các đẳng thức toán học.

• Ví dụ: Chứng minh rằng \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

  Lời giải:

  (a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a(a+b) + b(a+b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2

Dạng 5: Phân tích đa thức thành nhân tử

Sử dụng hằng đẳng thức để phân tích các đa thức thành nhân tử.

• Ví dụ: Phân tích biểu thức \(x^2 - y^2\) thành nhân tử

  Lời giải:

  x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)

Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức

Sử dụng các hằng đẳng thức và tính chất của chúng để chứng minh bất đẳng thức.

• Ví dụ: Chứng minh rằng \(x^2 + y^2 \geq 2xy\)

  Lời giải:

  Ta có (x - y)^2 \geq 0

  Suy ra x^2 - 2xy + y^2 \geq 0

  Do đó x^2 + y^2 \geq 2xy

Dạng 7: Tìm giá trị của x

Sử dụng hằng đẳng thức để tìm giá trị của x trong các phương trình.

• Ví dụ: Giải phương trình \(x^2 - 5x + 6 = 0\)

  Lời giải:

  Phương trình x^2 - 5x + 6 = 0 có thể được phân tích thành (x - 2)(x - 3) = 0

  Do đó x = 2 hoặc x = 3